Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）过点（$\sqrt{2}$，1），且焦距为2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=k（x+1）（k＞-2）与椭圆C相交于不同的两点A、B，线段AB的中点M到直线2x+y+t=0的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，求t（t＞2）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由c=$\sqrt{2}$，则a²-b²=2，将点代入椭圆方程，联立即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，利用点到直线的距离公式，根据k及t的取值范围，利用基本不等式的性质，即可求得t的取值范围．

解答 解：（1）由2c=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，则a²-b²=2，
将点（$\sqrt{2}$，1）代入椭圆方程：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得：a²=4，b²=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，
则x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
y₀=k（x₀+1）=$\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$，
由M到直线2x+y+t=0的距离$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{丨-\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}+\frac{k}{2{k}^{2}+1}+t丨}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
则丨$\frac{k+2}{2{k}^{2}+1}$+t-2丨=3，
由k＞-2及t＞2，则t=5-$\frac{k+2}{2{k}^{2}+1}$=5-$\frac{1}{2（k+2）+\frac{9}{k+2}-8}$，
由$\frac{1}{2（k+2）+\frac{9}{k+2}-8}$≥6$\sqrt{2}$，
∴5-$\frac{1}{6\sqrt{2}-8}$≤t＜5，即4-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$≤t＜5，
∴t（t＞2）的取值范围[4-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，5）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．