Question

20．已知a＞0，（$\frac{a}{\sqrt{x}}$-x）⁶展开式的常数项为240，则${∫}_{-a}^{a}$（x²+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx=$\frac{16}{3}$+2π．

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项公式写出常数项，求得a的值，再计算定积分${∫}_{-2}^{2}$（x²+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx的值．

解答 解：a＞0，（$\frac{a}{\sqrt{x}}$-x）⁶展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（\frac{a}{\sqrt{x}}）}^{6-r}$•（-x）^r=a^6-r•${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•${x}^{\frac{3r}{2}-3}$；
令$\frac{3r}{2}$-3=0，解得r=2，
即有C₆²•a⁴=240，解得a=2；
则${∫}_{-2}^{2}$（x²+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx
=（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²）${|}_{-2}^{2}$+$\frac{1}{2}$•π•2²
=$\frac{16}{3}$+2π．
故答案为：$\frac{16}{3}$+2π．

点评 本题考查了二项式展开式的通项公式以及定积分的计算问题，是中档题．