Question

已知

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且

m

⊥

n

．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的对称轴的方程；
（2）若函数y=f（x）的图象在y轴的右侧的最高点的横坐标组成一个数列{a_n}，求a₁+a₂+…+a₂₀₁₆的值．

Answer 1

考点：数列的求和,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，可得f（x）=2cos2x+2

3

sinxcosx=2sin(2x+

π

6

)+1，令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得即可；
（2）由（1）可得：f（x）的对称轴的方程为x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．可得a_n=

2(n-1)π

2

+

π

6

=(n-1)π+

π

6

（n∈N^*）．利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=(2cosx+2

3

sinx)cosx-y=0，
∴f（x）=2cos2x+2

3

sinxcosx
=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin(2x+

π

6

)+1，
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的对称轴的方程为x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
（2）由（1）可得：f（x）的对称轴的方程为x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
∴a₁=

π

6

，a₂=

2π

2

+

π

6

，
…，
∴a_n=

2(n-1)π

2

+

π

6

=(n-1)π+

π

6

（n∈N^*）．
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₆=

2016( π 6 +2015π+ π 6 )

2

=4056866π．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、向量垂直与数量积的关系、两角和差的正弦公式、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．