Question

过点P（2，1）作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：由题意设直线的截距式方程为

x

a

+

y

b

=1（a，b＞0），可得

2

a

+

1

b

=1，由基本不等式可得ab≥8，可得△AOB的面积S≥4，可得此时直线的方程．

解答： 解：由题意设直线的截距式方程为

x

a

+

y

b

=1（a，b＞0），
∵直线过P（2，1），∴

2

a

+

1

b

=1，
∴1=

2

a

+

1

b

≥2

2 a • 1 b

，∴ab≥8，
当且仅当

2

a

=

1

b

即a=4且b=2时取等号，
∴△AOB的面积S=

1

2

ab≥4，
∴△AOB面积的最小值为4，此时直线l的方程为

x

4

+

y

2

=1，
化为一般式方程可得x+2y-4=0

点评：本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式的应用，属中档题．