在平面直角坐标系xOy中.圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}}\right.$..在以原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中.直线l的极坐标方程为$ρcos=-\sqrt{2}$.A.B两点的极坐标分别为$A.B$．(1)求圆C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}}\right.$，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为$ρcos（θ+\frac{π}{4}）=-\sqrt{2}$，A，B两点的极坐标分别为$A（2，\frac{π}{2}），B（2，π）$．
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．

分析（1）由圆C的参数方程消去t得到圆C的普通方程，由直线l的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ转化为直角坐标方程即可；
（2）将A与B的极坐标化为直角坐标，并求出|AB|的长，根据P在圆C上，设出P坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．

解答解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-5+\sqrt{2}cost}\\{y=3+\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$，化简得：$\left\{\begin{array}{l}{x+5=\sqrt{2}cost}\\{y-3=\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$，
消去参数t，得（x+5）²+（y-3）²=2，
∴圆C的普通方程为（x+5）²+（y-3）²=2．
由ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，化简得$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=-$\sqrt{2}$，
即ρcosθ-ρsinθ=-2，即x-y+2=0，
则直线l的直角坐标方程为x-y+2=0；
（Ⅱ）将A（2，$\frac{π}{2}$），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（-2，0），
∴|AB|=$\sqrt{（0+2）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
设P点的坐标为（-5+$\sqrt{2}$cost，3+$\sqrt{2}$sint），
∴P点到直线l的距离为d=$\frac{|-5+\sqrt{2}cost-3-\sqrt{2}sint+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{|{-6+2cos（{t+\frac{π}{4}}）}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∴d_min=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则△PAB面积的最小值是S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．