Question

已知A、B为抛物线C：x²=2y上的两点，点P（0，t）（t＞0）满足

AP

=λ

PB

（λ＞1）．
（1）若P为抛物线的焦点，分别过A、B作抛物线C的切线，两条切线交于点Q，求证：k_QA•k_QB为定值．
（2）若t=4，直线AB的斜率为1，过A、B两点的圆P与抛物线在点A处有共同的切线，求圆P的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线AB的方程为y=kx+0.5，代入抛物线方程x²=2y，利用韦达定理，结合导数知识，即可证明结论；
（2）由题得直线AB的方程是x-y+4=0联立抛物线的方程解得A（4，8）和B（-2，2），进而直线NA的方程为y=4x-8，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．

解答： （1）证明：依题意，可设直线AB的方程为y=kx+0.5，代入抛物线方程x²=2y得x²-2kx-1=0．①
设A、B两点的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程①的两根．
所以x₁x₂=-1．
∵x²=2y，∴y=

1

2

x²，∴y′=x
∴QA的斜率x₁，QB的斜率x₂，
∴k_QA•k_QB=x₁x₂=-1
（2）解：设圆心为N，直线AB的方程是y=x+4，即x-y+4=0．
与抛物线联立及

AP

=λ

PB

（λ＞1），得A（4，8）和B（-2，2）
∵y′=x
∴抛物线x²=2y在点A处切线的斜率为y'|_x=4=4．
直线NA的方程为y-8=4（x-4），即y=4x-8．①
线段AB的中点坐标为（1，5），线段AB中垂线方程为y=-x+6．②
由①、②解得N（2.8，3.2）．
于是，圆N的方程为（x-2.8）²+（y-3.2）²=18．

点评：本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．