Question

已知函数f（x）=sin（π-x）sin（

π

2

-x）+cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，由此可得函数的周期．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，可得函数的增区间；令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范围，可得函数的增区间．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（π-x）sin（

π

2

-x）+cos²x=sinxcosx+

1+cos2x

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
故函数的周期为

2π

2

=π．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，故函数的增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，故函数的增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．