Question

已知过点（0，

3

2

）的直线与圆x²+（y-2）²=1相交于两点A、B，则弦AB中点的轨迹为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：根据圆的特殊性，求出圆心为C的坐标，设弦AB中点为M，则有CM⊥AB，当斜率存在时，k_CMk_AB=-1，斜率不存在时加以验证，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：设圆x²+（y-2）²=1的圆心为C，则C的坐标是（0，2），弦AB中点为M（x，y），
由题意，CM⊥AB，
①当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠±

3

2

，x≠0时，则有k_CMk_AB=-1，
∴

y- 3 2

x

×

y-2

x

=-1（x≠0），
化简得x²+y²-

7

2

y+3=0（x≠±

3

2

，x≠0），
②当x=0时，y=

3

2

，点（0，

3

2

）适合题意，
③当x=0时，y=2，点（0，2）适合题意，
∴点M的轨迹方程是x²+y²-

7

2

y+3=0

点评：本题主要考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解．