题目内容
设G是△ABC的重心，且
sinA
+3sinB
+3
sinC
=0，则角B的大小为 ．
| 7 |
| GA |
| GB |
| 7 |
| GC |
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：已知等式利用正弦定理化简，再根据G为三角形重心，利用中线的性质及向量法则变形，求出a，b，c，利用余弦定理表示出cosB，即可确定出B的度数．
解答：
解：∵
sinA
+3sinB
+3
sinC
=0，
设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
a
+3b
+3
c
=0，
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：3
=
+
，3
=
+
，3
=
+
，
代入上式得：
a（
+
）+3b（
+
）+3
c（
+
）=0，
又
=
+
，上式可化为：
a（2
+
）+3b（
+
）+3
c（-
+2
）=0，
即（2
a-3b-3
c）
+（-
a-3b+6
c）
=0，
则有
，
①-②得：3
a=9
c，即a：c=1：3，
设a=k，c=3k，代入①得到b=-
k，
∴cosB=
=
=
，
则B=
．
| 7 |
| GA |
| GB |
| 7 |
| GC |
设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
| 7 |
| GA |
| GB |
| 7 |
| GC |
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：3
| GA |
| BA |
| CA |
| GB |
| CB |
| AB |
| GC |
| AC |
| BC |
代入上式得：
| 7 |
| BA |
| CA |
| CB |
| AB |
| 7 |
| AC |
| BC |
又
| CA |
| CB |
| BA |
| 7 |
| BA |
| CB |
| AB |
| CB |
| 7 |
| BA |
| BC |
即（2
| 7 |
| 7 |
| BA |
| 7 |
| 7 |
| BC |
则有
|
①-②得：3
| 7 |
| 7 |
设a=k，c=3k，代入①得到b=-
7
| ||
| 3 |
∴cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
k2+9k2-
| ||
| 6k2 |
| 1 |
| 2 |
则B=
| π |
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．
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