Question

16．（1）将一颗骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，以分别得到的点数（m，n）作为点P的坐标（m，n），求：点P落在区域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$内的概率；
（2）在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），求：使方程x²+mx+n²=0有实数根的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意知是一个古典概型，由分步计数原理知试验发生的总事件数是6×6，记“点P落在区域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$内”为事件A，事件A包括下列15个基本事件：15，即可求点P落在区域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$内的概率；
（2）在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），确定平面区域，求出相应的面积，即可求：使方程x²+mx+n²=0有实数根的概率．

解答 解：（1）抛掷2次骰子共包括36个基本事件，每个基本事件都是等可能的．…（1分）
记“点P落在区域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$内”为事件A，…（2分）
事件A包括下列15个基本事件：15；…（5分）
所以  $P（A）=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$．   …（6分）
答：点P落在内的概率为$\frac{5}{12}$…（7分）
注：以上评分，要从严，以此引导学生重视概率题的答题规范．
如，未记事件A的，扣（1分）；不列举事件A的基本事件的，扣（3分）；不答的，扣（1分）
（2）记“方程x²+mx+n²=0有实数根”为事件B，…（8分）
在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），可看作是在区域D：$\{（m，n）|\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤6}\\{1≤n≤6}\end{array}\right.\}$内随机取一点，
每个点被取到的机会是均等的；                                    …（10分）
而事件B发生，则视作点（m，n），恰好落在区域d：$\{（m，n）|\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤6}\\{1≤n≤6}\\{m≥2n}\end{array}\right.$ …（13分）
所以$P（B）=\frac{4}{25}$…（14分）
答：使方程x²+mx+n²=0有实数根的概率为$\frac{4}{25}$…（15分）

点评 本题考查古典概型、几何概型的计算，涉及基本事件的数目的确定，面积的计算，属于中档题．