Question

6．已知点A、B是抛物线C：x²=2py（p＞0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到准线l的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点F与原点O分别在直线AB与直线AD上，探究：直线BD与y轴间的关系．

Answer 1

分析 （1）利用焦点F到准线l的距离为2，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）直线AB：y=mx+1，与抛物线C：x²=4y联立可得x²-4mx-4=0，证明B，D的横坐标相等，即可得出结论．

解答 解：（1）∵焦点F到准线l的距离为2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=mx+1．
与抛物线C：x²=4y联立可得x²-4mx-4=0，∴x₁x₂=-4，
直线AO的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，令y=-1，则x=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，即D（-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，-1），
∴-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=-$\frac{4}{{x}_{1}}$=-x₂，
∴BD∥y轴．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．