Question

已知集合A={x|x²-4mx+4=0}，B={x|x＜0}，若集合A∩B≠∅，求m的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：根据已知条件得：16m²-16≥0，解得m≤-1，或m≥1．方程x²-4mx+4=0的两实根分别为：

4m- 16m2-16

2

，

4m+ 16m2-16

2

，因为A∩B≠∅，所以

4m- 16m2-16

2

＜0，或

4m+ 16m2-16

2

＜0，并容易说明当m≤-1时以上两不等式恒成立，当m≥1时，以上两不等式都不成立，这样m的取值范围就求出来了．

解答： 解：由已知条件知，方程x²-4mx+4=0有实数根，则△=16m²-16≥0，解得m≤-1，或m≥1；
该方程的两根为：

4m± 16m2-16

2

；
∵A∩B≠∅，∴

4m- 16m2-16

2

＜0   ①，或

4m+ 16m2-16

2

＜0    ②；
若m≤-1，4m=-

16m2

，4m+

16m2-16

＜0，则不等式①②都成立；
若m≥1，4m-

16m2-16

=

16m2

-

16m2-16

＞0，∴不等式①②都不成立；
∴m的取值范围是（-∞，-1]．

点评：考查一元二次方程的根和判别式△的关系，及求根公式，交集、空集的概念．