题目内容

对于有下列命题：
①函数f（x）=|sin2x|的最小正周期是
π
2

②函数y=sin(
3π
2
+x)是偶函数
③x=
π
8
是函数y=sin(2x+
5π
4
)的一条对称轴
④点(
π
2
，0)是函数y=tan(x+
π
3
)的图象的对称中心
⑤存在实数α使sinαcosα=1
其中正确命题的个数是
 
．
考点：命题的真假判断与应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：①求出f（x）=sin2x的周期，由f（x）=sin2x得图象与f（x）=|sin2x|的图象的关系得到
f（x）=|sin2x|的周期为
π
2
；
②利用诱导公式化简后判断命题②正确；
③④直接代入x的值，求出y值加以判断；
⑤由倍角公式化sinαcosα=
1
2
sin2α，得到最大值为
1
2
，命题得到判断．
解答： 解：对于①，函数f（x）=sin2x的周期为π，取绝对值后x轴下方的图象翻折到x轴上方，周期变为原来的一半，∴函数f（x）=|sin2x|的最小正周期是
π
2
，命题①正确；
对于②，函数y=sin(
3π
2
+x)=-cosx，函数是偶函数，命题②正确；
对于③，把x=
π
8
代入函数y=sin(2x+
5π
4
)，得y=sin(2×
π
8
+
5π
4
)=sin
3π
2
=-1．
∴x=
π
8
是函数y=sin(2x+
5π
4
)的一条对称轴，命题③正确；
对于④，把x=
π
2
代入y=tan(x+
π
3
)，得y=tan(
π
2
+
π
3
)=-
3
3
．命题④错误；
对于⑤，∵sinαcosα=
1
2
sin2α，
∴sinαcosα的最大值为
1
2
．命题⑤错误．
∴正确命题的个数是3个．
故答案为：3．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查了三角函数的图象和性质，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的与双曲线C2：3x2-y2=1有公共渐近线，且过点A（1，0）．
（1）求双曲线C1的标准方程；
（2）设F1、F2分别是双曲线C1左、右焦点．若P是该双曲线左支上的一点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积S．
在直角坐标系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），则满足PA2-PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为
 
．
函数f（x）=3sin（2x-
π
6
）在区间[0，
π
2
]上的值域为
 
．
给出如下命题：
①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；
③命题“?x0∈R，2x0≤0”的否定是“?x∈R，2x＞0”；
④“a≥5”是“?x∈[1，2]，x2-a≤0恒成立”的充要条件．
其中所有正确的命题的序号是
 
．
已知A是角α终边上一点，且A点的坐标为（
3
5
，
4
5
），则
1
2sinαcosα+cos2α
=
 
．
下列结论正确的是
 
（写出所有正确结论的序号）
（1）常数列既是等差数列，又是等比数列；
（2）若直角三角形的三边a、b、c成等差数列，则a、b、c之比为3：4：5；
（3）若三角形ABC的三内角A、B、C成等差数列，则B=60°；
（4）若数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1，则{an}的通项公式an=2n+1；
（5）若数列{an}的前n项和为Sn=3n-1，则{an}为等比数列．
给出下列命题：
①若a，b∈R+，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；
②若a，b，c∈R，则a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
③若a＞0，b＞0，a+b=2，则
a
+
b
≤
2
；
④若
x+y＞4
xy＞4
，则
x＞2
y＞2
；
⑤函数y=
x2+2014
x2+2013
的最小值等于2．
其中正确命题的个数为（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
若直线x-y+2=0与圆C：（x-3）2+（y-3）2=4相交于A、B两点，则
CA
•
CB
的值为（　　）
A、-1B、0C、1D、6

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