Question

17．在以O为中心，F₁，F₂为焦点的双曲线上存在一点M，满足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=2|$\overrightarrow{MO}$|=2|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由双曲线的定义可得2a=|MF₁|-|MF₂|=|MF₂|，进而在△F₁OM中，F₁O=c，F₁M=4a，OM=2a，在△F₁F₂M中，F₁F₂=2c，F₁M=4a，F₂M=2a，结合余弦定理，结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由|MF₁|=2|MO|=2|MF₂|，
由双曲线的定义可得2a=|MF₁|-|MF₂|=|MF₂|，
在△F₁OM中，|F₁O|=c，|F₁M|=4a，|OM|=2a，
则cos∠MF₁O=$\frac{16{a}^{2}+{c}^{2}-4{a}^{2}}{2•4a•c}$，
在△F₁F₂M中，|F₁F₂|=2c，|F₁M|=4a，|F₂M|=2a，
则cos∠MF₁O=$\frac{16{a}^{2}+4{c}^{2}-4{a}^{2}}{2•4a•2c}$，
由∠MF₁O=∠MF₁O得：$\frac{16{a}^{2}+{c}^{2}-4{a}^{2}}{2•4a•c}$=$\frac{16{a}^{2}+4{c}^{2}-4{a}^{2}}{2•4a•2c}$，
整理得c²=6a²，
即e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=6，
故e=$\sqrt{6}$，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是双曲线的简单性质，主要是考查离心率的求法，注意运用余弦定理，构造关于a，c的方程是解答的关键，难度中档．