Question

已知函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1（ω＞0）的最小正周期为8．
（1）求ω的值；
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈[0，

4

3

]时y=g（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，进而利用周期公式求得ω．
（2）先求得已知区间关于直线x=1对称的区间，利用（1）中函数解析式求得f（x）的最大值，进而求得y=g（x）的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1=sinωx•

3

2

-

1

2

cosωx-2cos²

ω

2

x+1=

3

sin（ωx-

π

3

），
∵函数的最小正周期为8，
∴ω=

2π

T

=

π

4

．
（2）区间[0，

4

3

]关于x=1对称的区间为[

2

3

，2]，
∴y=g（x）在区间[0，

4

3

]上的最大值为y=f（x）在[

2

3

，2]的最大值，
∵f（x）=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），x∈[

2

3

，2]，
∴f（x）_max=f（2）=

3

sin

π

6

=

3

2

，即y=g（x）的最大值为

3

2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．综合考查了学生分析和解决问题的能力．