Question

10．已知函数f（x）=2x³+3x²+a，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=12x相切，求a的值；
（3）是否存在相异的正实数m，n，使得f（m）=12m，f（n）=12n？若存在，试确定实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=12x相切，求出切点坐标，即可求a的值；
（3）设F（x）=f（x）-12x，则题设可转化为判断函数F（x）在（0，+∞）上是否存在两个零点m，n．

解答 解：（1）f'（x）=6x²+6x=6x（x+1）．                                   （1分）
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=0，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增↗	极大值	单调递减↘	极小值	单调递增↗

故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（0，+∞），单调递减区间为（-1，0）．  （4分）
（2）令f'（x）=12，即6x（x+1）=12，得x=-2或x=1．                 （5分）
∴切点坐标为（-2，-24）或（1，12）．                                       （6分）
将点（-2，-24）代入f（x）=2x³+3x²+a，得a=-20；
再将点（1，12）代入f（x）=2x³+3x²+a，得a=7．                                            （7分）
故a=-20或a=7．                                                   （8分）
（3）设F（x）=f（x）-12x，
则题设可转化为判断函数F（x）在（0，+∞）上是否存在两个零点m，n．（*）      （9分）
∵F（x）=f（x）-12x=2x³+3x²-12x+a，
∴F'（x）=6x²+6x-12=6（x+2）（x-1）．
令F'（x）=0，得x₁=-2，x₂=1．                                      （10分）
当0＜x＜1时，F'（x）＜0；当x＞1时，F'（x）＞0．
故x=1是F（x）的极小值点，且F（1）=a-7．                           （11分）
要使（*）成立，则必有$\left\{\begin{array}{l}F（0）＞0\\ F（1）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a-7＜0\end{array}\right.$，
∴0＜a＜7，
此时F（2）=4+a＞0，
故函数F（x）的图象与x轴的正半轴有两个交点（m，0），（n，0）．
综上所述，存在相异的正实数m，n，使得f（m）=12m，f（n）=12n，
此时实数a的取值范围是{a|0＜a＜7}．                                                          （12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．