题目内容

15．已知F是抛物线x2=y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为（　　）
A．$\frac{3}{4}$B．1C．$\frac{5}{4}$D．$\frac{7}{4}$

分析 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．

解答 解：抛物线x2=y的焦点F（0，$\frac{1}{4}$）准线方程y=-$\frac{1}{4}$，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=y1+$\frac{1}{4}$+y2+$\frac{1}{4}$=3
解得y1+y2=$\frac{5}{2}$，
∴线段AB的中点纵坐标为$\frac{5}{4}$，
∴线段AB的中点到x轴的距离为$\frac{5}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．

练习册系列答案
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5．已知两定点F1（-4，0），F2（4，0），点P是平面上一动点，且|PF1|+|PF2|=9，则点P的轨迹是（　　）
A．圆B．直线C．椭圆D．线段
6．已知函数f（x）=（x2+$\frac{3}{2}$）（x+a）（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的范围；
（Ⅱ）若f′（-1）=0．证明：对任意的x1，x2∈，不等式|f（x1）-f（x2）|≤$\frac{5}{16}$恒成立．
3．若0＜x1＜x2＜1，则（　　）
A．${x_2}{e^{x_1}}＞{x_1}{e^{x_2}}$B．${x_2}{e^{x_1}}＜{x_1}{e^{x_2}}$
C．lnx2-lnx1＞2x2-2x1D．lnx2-lnx1＜2x2-2x1
10．已知函数f（x）=2x3+3x2+a，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=12x相切，求a的值；
（3）是否存在相异的正实数m，n，使得f（m）=12m，f（n）=12n？若存在，试确定实数a的取值范围；若不存在，说明理由．
20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F2和上顶点B在直线3x+$\sqrt{3}$y-3=0上，M、N为椭圆C上不同两点，且满足kBM•kBN=$\frac{1}{4}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线MN恒过定点；
（3）求△BMN的面积的最大值，并求此时MN直线的方程．
7．已知角α的终边经过点（-4，-3），那么tanα等于（　　）
A．$\frac{3}{4}$B．$\frac{4}{3}$C．-$\frac{3}{4}$D．-$\frac{4}{3}$
4．已知直线x+2ay-1=0与直线x-4y=0平行，则a的值为（　　）
A．-2B．2C．-$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{2}$
5．在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为$\frac{π}{6}$．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

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