题目内容

已知D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且满足
AF
=
2
3
AB
，
AE
=
3
4
AC
，
AD
=λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
）（λ∈R），
DE
•
DA
=
DE
•
DC
，
DF
=μ（
BD
sinB
|
BD
|
+
AD
cosB
|
AD
|
）（μ∈R）．则
|
EF
|
|
BC
|
=（　　）
A、
1
3
B、
1
2
C、
3
3
D、
2
2
考点：平面向量的综合题,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：如图所示，由
AD
=λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
），可得
BC
•
AD
=0，得到BC⊥AD．由
DE
•
DA
=
DE
•
DC
，可得
DE
•(
DA
-
DC
)=
DE
•
CA
=0，得到DE⊥CA．由
DF
=μ（
BD
sinB
|
BD
|
+
AD
cosB
|
AD
|
），可得
BA
•
DF
=0，即BA⊥DF．连接EF．可得A，E，D，F四点共圆，因此∠AEF=∠ADF．又∠B=∠ADF，可得△AEF∽△ABC．又
AF
=
2
3
AB
，
AE
=
3
4
AC
，可得AC=
2
2
3
AB．即可得出
|
EF
|
|
BC
|
．
解答： 解：如图所示，
∵
AD
=λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
），
∴
BC
•
AD
=λ（
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
）•
BC
=λ(
-|
AB
||
BC
|cosB
|
AB
|cosB
+
|
AC
||
BC
|cosC
|
AC
|cosC
)=0，
∴
BC
⊥
AD
，即BC⊥AD．
∵
DE
•
DA
=
DE
•
DC
，∴
DE
•(
DA
-
DC
)=
DE
•
CA
=0，∴
DE
⊥
CA
，即DE⊥CA．
∵
DF
=μ（
BD
sinB
|
BD
|
+
AD
cosB
|
AD
|
），
∴
BA
•
DF
=μ（
BD
sinB
|
BD
|
+
AD
cosB
|
AD
|
）•
BA
=μ(
|
BD
||
BA
|cosBsinB
|
BD
|
+
-|
AD
||
BA
|sinBcosB
|
AD
|
)=0，
∴
BA
⊥
DF
，即BA⊥DF．
连接EF．
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴A，E，D，F四点共圆，∴∠AEF=∠ADF．
又AD⊥BC，∴∠B=∠ADF，
∴∠B=∠AEF．
∴△AEF∽△ABC．
∴
EF
BC
=
AE
AB
=
AF
AC
．
∵
AF
=
2
3
AB
，
AE
=
3
4
AC
，
∴
3
4
AC
AB
=
2
3
AB
AC
，解得AC=
2
2
3
AB．
∴
EF
BC
=
3
4
×
2
2
3
AB
AB
=
2
2
．
∴
|
EF
|
|
BC
|
=
2
2
．
故选：D．
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定与性质、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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π
4
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．
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部分．
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π
12
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．
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．
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A、
2
+1
B、
2
-1
C、
3
+1
D、
3
-1
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A、11B、13C、15D、4
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A、2
B、3
C、2+
2
D、3+
2
口袋中有红、白、黄、黑共四个小球，其质量相等、大小相同．从中有放回的先后各取一个球．
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