Question

抛物线x²=4y的准线l与y轴交于点P，若直线l绕点P以每秒

π

12

弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据抛物线的方程，找出p的值，进而得到其准线方程和P的坐标，根据直线l过P点，设出直线l的斜率为k时与抛物线相切，表示出此时直线l的方程，与抛物线联立，消去y得到关于x的一元二次方程，令根的判别式等于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出直线l的倾斜角，用求出的倾斜角除以角速度即可求出此时所用的时间t．

解答： 解：根据抛物线的方程x²=4y，得到p=1，
所以此抛物线的准线方程为y=-1，P坐标为（0，-1），
令恒过P点的直线y=kx-1与抛物线相切，
联立直线与抛物线，消去y得：x²-4kx+4=0，得到△=16k²-16=0，即k²=1，
解得：k=1或k=-1，
由直线l绕点P逆时针旋转，k=-1不合题意，舍去，
则k=1，此时直线的倾斜角为

π

4

，又P的角速度为每秒

π

12

弧度，
所以直线l恰与抛物线第一次相切，则t=3．
故答案为：3．

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的简单性质，恒过定点的直线方程．当直线与曲线相切时，设出直线的方程，联立直线与曲线方程，消去一个字母后得到关于另一个字母的一元二次方程，利用根的判别式等于0，是解题的关键．