Question

1．已知函数f（x）=4sinx•cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-cos2x．
（1）将函数y=f（2x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足b=2，f（A）=$\sqrt{2}-1，\sqrt{3}$a=2bsinA，
B∈（0，$\frac{π}{2}$），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=2sinx-1，由题意可求g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1，由x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，可求2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函数的性质可求值域．
（2）由已知及正弦定理得：$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA，可求sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围0$＜B＜\frac{π}{2}$可求B=$\frac{π}{3}$，进而可求sinA，由正弦定理得a，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 $\begin{array}{l}解：（1）f（x）=4sinx•{cos^2}（{\frac{x}{2}+\frac{π}{4}}）-cos2x\\=4sinx•\frac{{1+cos（{x+\frac{π}{2}}）}}{2}-cos2x\begin{array}{l}{\;}{\;}…\end{array}1分\end{array}$
=2sinx-2sin²x-cos2x=2sinx-1，…2分
∴函数f（2x）=2sin2x-1 的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数
g（x）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）-1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1的图象，…4分
∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
当x=$\frac{π}{12}$时，g（x）_min=-2；当x=$\frac{5π}{12}$时，g（x）_max=1，所求值域为[-2，1]．…6分
（2）由已知$\sqrt{3}$a=2bsinA及正弦定理得：$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA，…7分
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵0$＜B＜\frac{π}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$，…8分
由f（A）=$\sqrt{2}$-1，得sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…9分
又a=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$b＜b，∴A=$\frac{π}{4}$，…10分
由正弦定理得：a=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，…11分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$×2×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．