题目内容
下列命题：
①△ABC中，若
•
＜0，则△ABC是钝角三角形；
②已知O为△ABC所在平面内一点，若
•
=
•
，则
和
在向量
方向上的投影必相等；
③已知O为△ABC所在平面内一点，若
•
=
•
=
•
且
+
-m
=
（m∈R），则△ABC是等边三角形；
④已知O为△ABC内一点，若
+2
+3
=
，则S△AOC：S△ABC=1：3；
⑤若△ABC面积为1，D是边AB上任意一点，E是边AC的中点，F是线段DE上的一点，且
=λ
，
=λ
，则△BDF面积的最大值是
．
期中正确的命题序号为 （填上所有正确命题的序号）
①△ABC中，若
| AB |
| BC |
②已知O为△ABC所在平面内一点，若
| OA |
| OB |
| OC |
| OB |
| OA |
| OC |
| OB |
③已知O为△ABC所在平面内一点，若
| OA |
| OB |
| OC |
| OB |
| OA |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
④已知O为△ABC内一点，若
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
⑤若△ABC面积为1，D是边AB上任意一点，E是边AC的中点，F是线段DE上的一点，且
| AD |
| AB |
| DF |
| DE |
| 1 |
| 8 |
期中正确的命题序号为
考点：命题的真假判断与应用
专题：平面向量及应用,简易逻辑
分析：根据
•
的夹角为B的补角，结合向量数量积的定义，可判断①；
展开向量数量积公式由向量数量积的几何意义判断②；
把已知向量等式变形得到O为三角形垂心，再由
+
-m
=
说明O在角A的角分线上判断③；
通过作图求解判断④；
把△BDF面积转化为含λ的代数式，然后利用不等式求最值判断⑤．
| AB |
| BC |
展开向量数量积公式由向量数量积的几何意义判断②；
把已知向量等式变形得到O为三角形垂心，再由
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
通过作图求解判断④；
把△BDF面积转化为含λ的代数式，然后利用不等式求最值判断⑤．
解答：
解：①△ABC中，若
•
＜0，则B为锐角，此时△ABC的形状不能确定，故①错误；
②已知O为△ABC所在平面内一点，若
•
=
•
，
则|
|•|
|•cos∠AOB=|
|•|
|•cos∠BOC，
即|
|•cos∠AOB=|
|•cos∠BOC，即
和
在向量
方向上的投影相等，故②正确；
③已知O为△ABC所在平面内一点，若
•
=
•
=
•
，则O为△ABC垂心（即三条高的交点），
若
+
-m
=
（m∈R），则O点在角C角平分线上，则△ABC是等腰三角形，但不一定等边，故③错误；
④过A点作OB的平行线，在平行线上取线段AD，使得AD=2OB，延长OB至E使得BE=OB，
如图，
∵AD平行且等于OE，四边形ADEO为平行四边形，
+2
+3
=
，
对角线
=
+
=
+
=
+2
=-3
，
∴三角形AOD的面积是三角形AOC面积的三倍，
设三角形AOC面积为X，则三角形AOD的面积为3X，
∵AD平行于OB，且AD=2OB，设CD与AB相交于F点，则有AF：FB=DF：FO=AD：OB=2：1，
∴三角形AOF的面积为X，三角形ACF的面积为2X，
∵AF：FB=2：1，
∴三角形CFB面积为X，故三角形ABC总面积为3X．
则S△AOC：S△ABC=1：3，故④正确；
⑤∵△ABC的面积为1，D是边AB上任意一点，E是边AC的中点，F是线段DE上的一点，
=λ
，
=λ
，如图，
分别过B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分别为M，N，设MB=h1，AN=h2
则
=
=
λ．
∴S△ADE=
λ•S△ABC=
λ．
∵△DMB∽△DNA
∴
=
．
从而有
=
=λ•
=1-λ．
∴S△DBF=(1-λ)•
λ≤
•(
)2=
．
当且仅当λ=
时取等号．则△BDF面积的最大值是
．
命题⑤正确．
∴正确命题的序号是②④⑤．
故答案为：②④⑤．
| AB |
| BC |
②已知O为△ABC所在平面内一点，若
| OA |
| OB |
| OC |
| OB |
则|
| OA |
| OB |
| OC |
| OB |
即|
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
| OB |
③已知O为△ABC所在平面内一点，若
| OA |
| OB |
| OC |
| OB |
| OA |
| OC |
若
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
④过A点作OB的平行线，在平行线上取线段AD，使得AD=2OB，延长OB至E使得BE=OB，
如图，
∵AD平行且等于OE，四边形ADEO为平行四边形，
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
对角线
| OD |
| OA |
| AD |
| OA |
| OE |
| OA |
| OB |
| OC |
∴三角形AOD的面积是三角形AOC面积的三倍，
设三角形AOC面积为X，则三角形AOD的面积为3X，
∵AD平行于OB，且AD=2OB，设CD与AB相交于F点，则有AF：FB=DF：FO=AD：OB=2：1，
∴三角形AOF的面积为X，三角形ACF的面积为2X，
∵AF：FB=2：1，
∴三角形CFB面积为X，故三角形ABC总面积为3X．
则S△AOC：S△ABC=1：3，故④正确；
⑤∵△ABC的面积为1，D是边AB上任意一点，E是边AC的中点，F是线段DE上的一点，
| AD |
| AB |
| DF |
| DE |
分别过B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分别为M，N，设MB=h1，AN=h2
则
| S△ADE |
| S△ABC |
| ||
|
| 1 |
| 2 |
∴S△ADE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵△DMB∽△DNA
∴
| h1 |
| h2 |
| 1-λ |
| λ |
从而有
| S△DBF |
| S△ADE |
| ||
|
| 1-λ |
| λ |
∴S△DBF=(1-λ)•
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1-λ+λ |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
当且仅当λ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
命题⑤正确．
∴正确命题的序号是②④⑤．
故答案为：②④⑤．
点评：本题考查了平面向量在解三角形中的应用，考查了数形结合的解题思想方法，训练了学生灵活运用向量处理问题和解决问题的能力，是难度较大的题目．
练习册系列答案
相关题目
按1，3，6，10，15，…的规律给出2014个数，如图是计算这2014个数的和的程序框图，那么框图中判断框①处可以填入（ ）
| A、i≥2014 |
| B、i＞2014 |
| C、i≤2014 |
| D、i＜2014 |
在△ABC中，∠BAC=60°，点O满足2
+
+
=
，且OC⊥OA，则
的值为（ ）
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
| AB |
| AC |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
已知全集U=R，A=|x|-2＜x＜2|，B={x|-
＜x＜
}，则（ ）
| 2 |
| 2 |
| A、A∩B=∅ |
| B、A∪B=R |
| C、A∪（∁UB）=R |
| D、A?B |
设非零向量
，
，
，满足|
|=|
|=|
|，
+
=
，
与
的夹角为（ ）
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| b |
| c |
| A、60° | B、90° |
| C、120° | D、150° |