Question

已知函数f（x）=x²+（k+1）x+k（k为常数）．
（Ⅰ）当k=2时，解关于x的不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若k＞0，在x∈（0，+∞）时，不等式

f(x)+1

x

＞8恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当k=2时，不等式f（x）＞0可化为x²+3x+2＞0，解不等式可得答案；
（Ⅱ）若对任意的在x∈（0，+∞）时，不等式

f(x)+1

x

＞8恒成立，转化为则k＞

-x2+7x

x+1

，构造函数，求出函数的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）当k=2时，f（x）=x²+3x+2，
∵f（x）＞0，
∴x²+3x+2＞0，
解得x＞-1，或x＜-2，
故不等式的解集为（-∞，-2）∪（-1，+∞）；
（Ⅱ）∵k＞0，在x∈（0，+∞）时，不等式

f(x)+1

x

＞8恒成立，
∴x²+（k+1）x+k＞8x，在x∈（0，+∞）时恒成立，
即k＞

-x2+7x

x+1

，在x∈（0，+∞）时恒成立，
设g（x）=

-x2+7x

x+1

，
∴g′（x）=

-x2-2x+8

(x+1)2

，
令g′（x）=0，解得x=2，
∴函数g（x）在（0，2）为增函数，在（2，+∞）为减函数，
∴g（x）_max=g（2）=2，
∴k＞2，
故k的取值范围为（2，+∞）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，解二次不等式，恒成立问题，属于中档题．