题目内容
已知函数f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是 ．
考点：根的存在性及根的个数判断
专题：函数的性质及应用
分析：当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；当a∈（2，3]时和当a∈[-3，-2）时，等价转化f（x）的表达式，利用函数的单调性能得到实数t的取值范围．
解答：
解：当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，
则当a∈（2，3]时，由f（x）=
，
得x≥a时，f（x）=x2+（2-a）x，对称轴x=
＜a，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x2+（2+a）x，对称轴x=
＜a，
则f（x）在x∈（-∞，
]为增函数，此时f（x）的值域(-∞，
]．
f（x）在x∈[
，a)上为减函数，此时f（x）的值域为（2a，
]；
f（x）在[
，a)为减函数，此时f（x）的值域为(2a，
]；
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
则2ta∈（2a，
），
即存在a∈（2，3]，使得t∈(1，
)即可．
令g（a）=
=
(a+
+4)，
由题意，只需t＜g（a）max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函数，
所以g（a）max=g（3）=
；故实数t的取值范围是（1，
），
同理可求当a∈[-3，-2）时，t的取值范围是（1，
）．
综上可知，实数t的取值范围是（1，
）．
故答案为（1，
）
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，
则当a∈（2，3]时，由f（x）=
|
得x≥a时，f（x）=x2+（2-a）x，对称轴x=
| a-2 |
| 2 |
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x2+（2+a）x，对称轴x=
| a+2 |
| 2 |
则f（x）在x∈（-∞，
| a+2 |
| 2 |
| (a+2)2 |
| 4 |
f（x）在x∈[
| a+2 |
| 2 |
| (a+2)2 |
| 4 |
f（x）在[
| a+2 |
| 2 |
| (a+2)2 |
| 4 |
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
则2ta∈（2a，
| (a+2)2 |
| 4 |
即存在a∈（2，3]，使得t∈(1，
| (a+2)2 |
| 8a |
令g（a）=
| (a+2)2 |
| 8a |
| 1 |
| 8 |
| 4 |
| a |
由题意，只需t＜g（a）max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函数，
所以g（a）max=g（3）=
| 25 |
| 24 |
| 25 |
| 24 |
同理可求当a∈[-3，-2）时，t的取值范围是（1，
| 25 |
| 24 |
综上可知，实数t的取值范围是（1，
| 25 |
| 24 |
故答案为（1，
| 25 |
| 24 |
点评：本题考查函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力，考查转化与化归，分类讨论思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对能力要求较高．
练习册系列答案
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设关于x的函数f（x）=x2+ax-b，从集合A={x|0≤x≤3}中任取一个元素为a，从集合B={x|0≤x≤2}中任取一个元素为b，则使f（1）≥1的概率为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
记max{x，y}=
，min{x，y}=
，设
，
为平面向量，则（ ）
|
|
| a |
| b |
A、max{|
| ||||||||||||
B、max{|
| ||||||||||||
C、min{|
| ||||||||||||
D、min{|
|