Question

设点P在以F₁、F₂为左、右焦点的双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，PF₂⊥x轴，|PF₂|=3，点D为其右顶点，且|F₁D|=3|DF₂|．
（1）求双曲线C方程；
（2）设过点F₂的直线l与交于双曲线C不同的两点A、B，且满足|OA|²+|OB|²＞|AB|²（其中 O为原点），求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得

b2

a

=3，a+c=3（c-a），且c²=a²+b²，由此能求出双曲线C的方程．
（2）当AB⊥x轴时，

OA

•

OB

=-5，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设 l：y=k （x-2），由

y=k(x-2) 3x2-y2=3

，消去 y，整理得（3-k²） x²+4k²x-4k²-3=0．由此利用根据的判别式、韦达定理能求出直线l斜率的取值范围．

解答： 解：（1）∵P在以F₁、F₂为左、右焦点的双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，
PF₂⊥x轴，|PF₂|=3，点D为其右顶点，且|F₁D|=3|DF₂|，
∴

b2

a

=3，a+c=3（c-a），且c²=a²+b²，
解得a=1，b=

3

，c=2．
∴双曲线C的方程为x²-

y2

3

=1．
（2）设 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|OA|²+|OB|²＞|AB|²，
有 0°＜∠AOB＜90°，∴0＜cos∠AOB＜1．
显然，

OA

、

OB

不同向，∴

OA

•

OB

＞0，∴x₁x₂+y₁y₂＞0．
当AB⊥x轴时，A（2，3），B（2，-3），

OA

•

OB

=-5，不合题意．
当AB与x轴不垂直时，F₂（2，0），设 l：y=k （x-2），
由

y=k(x-2) 3x2-y2=3

，消去y，整理得（3-k²） x²+4k²x-4k²-3=0．
则△=（4k²）²-4（3-k²） （-4k²-3）＞0，
整理，得k²＞0，且3-k²≠0，
x₁+x₂=-

4k2

3-k2

，x₁x₂=-

4k2+3

3-k2

．
由 x₁x₂+y₁y₂＞0，得 x₁x₂+k （x₁-2）k （x₂-2）＞0，
即（1+k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²＞0，
即-（1+k²）•

4k2+3

3-k2

+2k²•

4k2

3-k2

+4k²＞0，解得

3

5

＜k²＜3．
∴直线l斜率的取值范围是（-

3

，-

15

5

）∪（

15

5

，

3

）．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．