题目内容

定义：对于两个双曲线C1，C2，若C1的实轴是C2的虚轴，C1的虚轴是C2的实轴，则称C1，C2为共轭双曲线．现给出双曲线Γ1：y=x+
1
x
和双曲线Γ2：y=x-
1
x
，其离心率分别为e1，e2．
（1）写出Γ1，Γ2的渐近线方程（不用证明）；
（2）试判断双曲线Γ1：y=x+
1
x
和双曲线Γ2：y=x-
1
x
是否为共轭双曲线？请加以证明．
（3）求值：
1
e12
+
1
e22
．
考点：双曲线的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）根据题意，可得Γ1，Γ2的渐近线方程；
（2）双曲线Γ1：y=x+
1
x
和双曲线Γ2：y=x-
1
x
是共轭双曲线，利用共轭双曲线的定义进行验证即可；
（3）由（2）可求值：
1
e12
+
1
e22
．
解答： 解：（1）Γ1，Γ2的渐近线方程分别为y=x和x=0；
（2）双曲线Γ1：y=x+
1
x
和双曲线Γ2：y=x-
1
x
是共轭双曲线，证明如下：
双曲线Γ1：y=x+
1
x
的实轴所在的直线是y=x和x=0的角平分线所在直线为y=tan67.5°=（
2
+1）x，
虚轴所在直线为y=tan157.5°x=（1-
2
）x，
实轴和虚轴的交点到原点的距离的平方d2=a12=2+2
2
，
∵
b1
a1
=tan22.5°=
2
-1，∴b12=2
2
-2，∴c12=4
2
．
同理双曲线Γ2：y=x-
1
x
的实轴、虚轴所在的直线y=（1-
2
）x，y=（
2
+1）x，
∴双曲线Γ1：y=x+
1
x
和双曲线Γ2：y=x-
1
x
是共轭双曲线
（3）由（2）知
1
e12
=
2+2
2
4
2
，
1
e22
=
2
2
-2
4
2
，
∴
1
e12
+
1
e22
=2，．
点评：本题考查双曲线的几何性质，考查新定义，考查离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=cos2x，g（x）=1+
1
2
sin2x．
（1）若点A（α，y）（α∈[0，
π
4
]）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，试求实数α的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，
π
4
]的值域．
若不等式
9-x2
≤k（x+2）-
2
的解集为区间[a，b]，且b-a=2，则k=
 
．
已知函数f（x）=
3
sin2x+cos2x+1
2cosx
．
（Ⅰ）求f（x）的定义域和值域；
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π
2
＜x0＜
π
2
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3
x，求在点P处的切线方程．
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（2）若
BA
•
BC
=2，且b=2
2
，求a和c的值．
已知
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）设
a
与
b
的夹角为θ，解关于x的不等式：log3（2x-1）≤21-sinθ
（2）若存在不同时为0的实数k和t，使
x
=a+（t-3）b，
y
=-ka+tb，且
x
⊥
y
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已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2+a4=14，S7=70
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
2Sn-25n
n
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其右焦点为（1，0），并且经过点（
2
2
，
3
2
），直线l与C相交于M、N两点，l与x轴、y轴分别相交于P、Q两点．
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（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得P、Q是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
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x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上，PF2⊥x轴，|PF2|=3，点D为其右顶点，且|F1D|=3|DF2|．
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