Question

直线x=

a2

c

与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线交于A、B两点，离直线最近的焦点为F，若以AB为直径的圆恰过F点，则双曲线的焦距与虚轴长之比为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意写出双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线方程为y=±

b

a

x；从而求得点A（

a2

c

，

ab

c

）；从而得到点F到直线x=

a2

c

的距离d=c-

a2

c

=

b2

c

；再利用以AB为直径的圆恰过F点求得a=b；从而解得．

解答： 解：由题意，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线方程为y=±

b

a

x；
故不妨设点A在x轴的上方，
则y=

b

a

•

a2

c

=

ab

c

；即点A（

a2

c

，

ab

c

）；
F（c，0）；
则点F到直线x=

a2

c

的距离d=c-

a2

c

=

b2

c

；
∵以AB为直径的圆恰过F点，
∴

b2

c

=

ab

c

；
即a=b；
故c=

2

b；
则双曲线的焦距与虚轴长之比为2

2

b：2b=

2

；
故答案为：

2

．

点评：本题考查了双曲线的性质应用，属于基础题．