Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），并且满足下列条件：
①f（2）=1； ②f（x，y）=f（x）+f（y）； ③当x＞1时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（1），f（

1

4

）的值；
（Ⅱ） 证明f（x）在（0，+∞）是增函数；
（Ⅲ）解不等式f（2）+f（4-8x）＞3．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）在②中令x=y=1，可由f（x•y）=f（x）+f（y），求出f（1）的值；在②中令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

），故f（

1

x

）=-f（x），
用此结论可求f（

1

4

）；
（2）任取x₁，x₂，设x₂＞x₁＞0，先证明f（

x2

x1

）＞0，再利用单调性的定义证明函数为增函数；
（3）由f（2）=1，可得3=f（8），结合（2）中函数的单调性，可将不等式转化为不等式组，解得x的取值范围．

解答： 解：（1）在②中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），故 f（1）=0，
在②中令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

），∴0=f（x）+f（

1

x

），∴f（

1

x

）=-f（x），
∴f（

1

4

）=-f（4）=-f（2×2）=-[f（2）+f（2）]=-2f（2）=-2，
（2）函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，理由如下：
任取x₁，x₂，设x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1
∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
（3）由f（2）=1，得3f（2）=3=f（2）+f（2）+f（2）=f（4）+f（2）=f（8），
∴不等式f（2）+f（4-8x）＞3可化为f（2（4-8x））＞f（8），
∴

4-8x＞0 2(4-8x)＞8

解得x＜0，
∴不等式的解集为{x|x＜0}．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中熟练掌握抽象函数的解答方法是解答的关键．