Question

已知双曲线的渐近线方程为y=±

1

2

x，且双曲线与椭圆4x²+9y²=36有公共焦点，则双曲线的方程是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件设双曲线方程为

x2

4

-y2=λ，λ≠0，且双曲线的焦点坐标为（±

5

，0），由此能求出双曲线方程．

解答： 解：∵双曲线的渐近线方程为y=±

1

2

x，
∴设双曲线方程为

x2

4

-y2=λ，λ≠0，
∵双曲线与椭圆4x²+9y²=36有公共焦点，
而椭圆4x²+9y²=36的标准方程为

x2

9

+

y2

4

=1，
∴椭圆4x²+9y²=36的焦点坐标为（±

5

，0），
双曲线的标准方程为

x2

4λ

-

y2

λ

=1，且4λ+λ=5，
解得λ=1，
∴双曲线方程为

x2

4

-y2=1．

点评：本题考查双曲线的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用．