Question

16．设函数f（x）是定义域为R的任意函数
（Ⅰ）求证：函数g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$是奇函数，h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$是偶函数
（Ⅱ）如果f（x）=ln（e^x+1），试求（Ⅰ）中的g（x）和h（x）的表达式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，对于g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$，先分析定义域，再计算可得g（-x）=-g（x），故可得g（x）为奇函数，对于h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$，先分析定义域，再计算可得h（-x）=h（x），可以证明h（x）为偶函数，
（Ⅱ）将f（x）=ln（e^x+1）代入g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$，计算可得g（x）的值，又由f（x）=g（x）+h（x），即h（x）=f（x）-g（x），计算即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）证明：对于g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$，其定义域为R，
有g（-x）=$\frac{f（-x）-f（x）}{2}$=-g（x），则g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$为奇函数；
h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$，其定义域为R，
h（-x）=$\frac{f（-x）+f（x）}{2}$=h（x），则h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$为偶函数；
（Ⅱ）f（x）=ln（e^x+1），
则g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$=$\frac{ln（{e}^{x}+1）-ln（{e}^{-x}+1）}{2}$=$\frac{ln{e}^{x}}{2}$=$\frac{ln（\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{-x}+1}）}{2}$=$\frac{x}{2}$，
而f（x）=g（x）+h（x），
则h（x）=f（x）-g（x）=ln（e^x+1）-$\frac{x}{2}$．

点评 本题考查抽象函数的应用，涉及函数奇偶性的运用，关键是灵活运用函数的奇偶性，注意涉及函数的奇偶性时，要优先分析定义域．