Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF=2，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．
（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB；
（Ⅲ）求二面角B-DE-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：证明FH⊥平面ABC．以H为坐标原点，

HB

为x轴正向，

HF

为z轴正向，建立如图所示坐标系．求出A，B，C，D，E，F的坐标；
（Ⅰ）利用向量共线证明FH∥平面EDB；
（Ⅱ）利用空间向量的数量积，以及直线与平面垂直的判定定理证明AC⊥平面EDB；
（Ⅲ）求出平面BDE的法向量为

n1

，平面CDE的法向量为

n2

，利用空间向量的数量积即可求二面角B-DE-C的大小．

解答： 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC．
又EF∥AB，∴EF⊥BC．
又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．∴EF⊥FH，∴AB⊥FH．
又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC，
∴FH⊥平面ABC．---（2分）

以H为坐标原点，

HB

为x轴正向，

HF

为z轴正向，建立如图所示坐标系．
则A（1，-2，0），B（1，0，0），C（-1，0，0），D（-1，-2，0），E（0，-1，1），F（0，0，1）．
（Ⅰ）证明：设AC与BD的交点为G，连GE，GH，则G（0，-1，0），
∴

GE

=（0，0，1），又

HF

=（0，0，1）∴

HF

∥

GE

．
GE?平面EDB，HF不在平面EDB内，∴FH∥平面EBD．---（5分）
（Ⅱ）证明：

AC

=（-2，2，0），

GE

=（0，0，1），

AC

•

GE

=0，∴AC⊥GE．
又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB．---（8分）
（Ⅲ）解：

BE

=（-1，-1，1），

BD

=（-2，-2，0）．
设平面BDE的法向量为

n1

=（1，y₁，z₁），
则

BE

•

n1

=-1-y₁+z₁=0，

BD

•

n1

=-2-2y₁=0，
∴y₁=-1，z₁=0，即

n1

=（1，-1，0）．

CD

=（0，-2，0），

CE

=（1，-1，1）．设平面CDE的法向量为

n2

=（1，y₂，z₂），
则

n2

•

CD

=0，y₂=0，

n2

•

CE

=0，1-y₂+z₂=0，z₂=-1，故

n2

=（1，0，-1），
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

2 • 2

=

1

2

，
∴＜

n1

，

n2

＞=60°，可得二面角B-DE-C为60°．---（12分）

点评：本题考查空间向量在立体几何中的应用，直线与平面的平行与垂直，二面角的大小的求法，考查空间想象能力以及计算能力．