Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1处取极值，且在点（0，f（0））处的切线方程为4x-y+5=0
（1）求a，b，c的值
（2）求函数f（x）的单调区间，并指出f（x）在x=1处取值是极大值还是极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）利用极值点处导数为0，求切点处的导数为切线的斜率，切点为公共点列出关于a，b，c的方程组．
（2）求导数，然后令导数为0，然后列表求极值．

解答： 解：（1）由已知得f′（x）=e^x[ax²+（2a+b）x+b+c]．
因为x=1是极值点，所以f′（1）=0，即3a+2b+c=0①，
将（0，f（0））代入4x-y+5=0得f（0）=5，且切线的斜率为f′（0）=4．
所以c=5②，b+c=4③．
联立①②③解得a=-1，b=-1，c=5．
（2）由已知得f′（x）=e^x（-x²-3x+4）．
令f′（x）＞0得x²+3x-4＜0，解得-4＜x＜1；
由f′（x）＜0得x²+3x-4＞0，解得x＜-4或x＞1．
故原函数的单调增区间为（-4，1），单调减区间为（-∞，-4），（1，+∞）．
所以x=1处取得极大值．

点评：本题考查的是利用导数求切线的方法以及利用导数研究单调区间的方法．要准确理解切点满足的性质；在写单调区间时，相同单调性的区间中间要用“，”或“和”分开．