Question

记函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，x₀）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f（x）=

3x+a

x+b

的图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
（2）下述结论“若定义在R上的奇函数f（x）的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明，并举出一例；若不正确，请举出一反例说明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f(x)=

3x0+a

x0+b

=x0，化为

x

2 0

+(b-3)x0-a=0（*），由题意知方程（*）有两个互为相反数的根，即可得出．
（2）结论正确．由于（0，0）为函数的一个不动点，设函数f（x）除0以外还有不动点（x，x）（x≠0），可得（-x，-x）也是不动点．

解答： 解：（1）由f(x)=

3x0+a

x0+b

=x0，
整理得 

x

2 0

+(b-3)x0-a=0（*），
由题意知方程（*）有两个互为相反数的根，
∴

b-3=0 -a＜0

，即b=3，a＞0，
∵f(x)=3+

a-9

x+3

，∴a≠9，
故a，b应满足b=3，a＞0且a≠9．
（2）结论正确．
证明：∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
取x=0，得f（0）=0，即（0，0）为函数的一个不动点，
设函数f（x）除0以外还有不动点（x，x）（x≠0），
则f（x）=x．
又f（-x）=-f（x）=-x，故（-x，-x）也为函数的不动点．
综上：若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个．
例如：f（x）=x³-x．

点评：本题考查了新定义“不动点”的性质、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．