Question

已知函数f（x）=4

3

sinxcosx-4cos²x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x₀）恒成立，求sin（2x₀-

π

3

）．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）原式可化简为f（x）=4sin（2x-

π

6

）-1，由三角函数的图象与性质即可求函数f（x）在[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）f（x₀）是f（x）的最大值，先解得2x₀的值，从而可求sin（2x₀-

π

3

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4

3

sinxcosx-4cos²x+1
=2

3

sin2x-2（1+cos2x）+1
=4sin（2x-

π

6

）-1
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴-3≤f（x）≤3，即函数f（x）在[0，

π

2

]上的值域是[-3，3]．     
（Ⅱ）∵对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x₀）恒成立，
∴f（x₀）是f（x）的最大值，∴由2x₀-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得2x₀=2kπ+

2π

3

，k∈Z
∴sin（2x₀-

π

3

）=sin（2kπ+

2π

3

-

π

3

）=sin

π

3

=

3

2

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的图象与性质，属于中档题．