Question

已知函数f（x）=-cos²2x+

3

sin2xcos2x+

3

2

．
（1）将f（x）化成Asin（ωx+φ）+B的形成，并求出其周期；
（2）当x∈[-

π

12

，

π

6

]，求f（x）的值域并指出取得最大最小值的x的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，将f（x）化成Asin（ωx+φ）+B的形成，然后求出其周期；
（2）通过x∈[-

π

12

，

π

6

]，求出相位的范围，然后利用三角函数的最值求解f（x）的值域并指出取得最大最小值的x的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=-cos²2x+

3

sin2xcos2x+

3

2

=

1

2

（1+cos4x）+

3

2

sin4x+

3

2

=（sin（4x+

π

6

）+2，
T=

2π

4

=

π

2

．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

6

]，
∴-

π

6

≤4x+

π

6

≤

5π

6

，
-

1

2

≤sin（4x+

π

6

）≤1，
当4x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

6

时，取得最大值3，
当x=-

π

6

时，函数取得最小值：

3

2

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．