Question

（1）已知圆的方程是（x+4）²+（y-2）²=9，求经过点P（-1，5）的切线方程．
（2）点P是椭圆

x2

16

+

y2

12

=1上的动点，A（1，0），求PA的最大、小值．

Answer 1

考点：两点间的距离公式,圆的切线方程

专题：直线与圆,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用直线与圆相切的充要条件即可得出．
（2）利用两点间的距离公式和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）由（x+4）²+（y-2）²=9可得圆心（-4，2），半径r=3．
可知：当直线x=-1时与此圆相切，是圆的一条切线．
当经过点P（-1，5）的切线的斜率存在时，设切线方程为y-5=k（x+1），
由直线与圆相切可得

|-4k-2+5+k|

k2 +1

=3，解得k=0．
∴切线的方程为y=5．
综上可知：经过点P（-1，5）的切线方程为y=5，或x=-1．
（2）设点P（x，y）．则-4≤x≤4．
由

x2

16

+

y2

12

=1，得y2=12-

3

4

x2，
∴|PA|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+12- 3 4 x2

=

1 4 x2-2x+13

=

1 4 (x-4)2+9

．
∵-4≤x≤4，∴函数

1

4

(x-4)2+9单调递减．．
故当且仅当x=4时，|PA|取得最小值3；x=-4时，|PA|取得最大值5．

点评：熟练掌握直线与圆相切的充要条件、两点间的距离公式和二次函数的单调性是解题的关键．