Question

如图所示，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CB=AA₁=2，∠ACB=90°，E为BB₁的中点，D∈AB，∠A₁DE=90°．
（1）求证：CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以C点为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，以CC₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CD⊥平面A₁DE．
（2）分别求出平面A₁DC的法向量和平面A₁CA的法向量，利用向量法能求出二面角D-A₁C-A的余弦值．

解答： 解：（1）以C点为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，
以CC₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），
A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），D（1，1，0），E（0，2，1），
∴

CD

=（1，1，0），

A1D

=（-1，1，-2），

DE

=（-1，1，1）．
∵

CD

•

A1D

=0，

CD

•

DE

=0．
∴线段CD⊥线段A₁D，线段CD⊥线段DE，
∴CD⊥平面A₁DE．
（2）

CA1

=（2，0，2），

CD

=（1，1，0）．
设平面A₁DC的法向量

n

=（x，y，z）．
 则

n • CA1 =2x+2z=0 n • CD =x+y=0

，取z=1，得

n

=（-1，1，1）．
又∵CB⊥平面A₁CA，

CB

=（0，2，0）就是平面A₁CA的一个法向量．
设二面角D-A₁C-A的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

CB

＞|=|

2

2 3

|=

3

3

，
∴二面角D-A₁C-A的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．