Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点．
（1）证明BC₁∥平面A₁CD
（2）设AA₁=AC=CB=2，AB=2

2

，求三菱锥C-A₁DE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC₁交A₁C于点F，连结DF，则BC₁∥DF，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（2）由已知得AA₁⊥CD，CD⊥AB，从而CD⊥平面ABB₁A₁．由此能求出三菱锥C-A₁DE的体积．

解答： （1）证明：连结AC₁交A₁C于点F，
则F为AC₁中点又D是AB中点，
连结DF，则BC₁∥DF．
因为DF?平面A₁CD，BC₁不包含于平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以AA₁⊥CD．
由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．
又AA₁∩AB=A，于是CD⊥平面ABB₁A₁．
由AA₁=AC=CB=2，AB=2

2

得∠ACB=90°，
CD=

2

，A1D=

6

，DE=

3

，A₁E=3，
故A₁D²+DE²=A₁E²，即DE⊥A₁D．
所以三菱锥C-A₁DE的体积为：
VC-A1DE=

1

3

×

1

2

×

6

×

3

×

2

=1．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三菱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．