Question

12．已知数列{a_n}满足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=\frac{n+1}{3}$，（n∈N₊）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{{{3^{n+1}}（1-{a_n}）（1-{a_{n+1}}）}}$，数列{b_n}的前n项和S_n，求证：${S_n}＜\frac{7}{16}$．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}满足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=\frac{n+1}{3}$，（n∈N₊）．n≥2时，a₁+3a₂+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n}{3}$，相减可得：3^n-1a_n=$\frac{1}{3}$，可得a_n．n=1时，a₁=$\frac{2}{3}$．
（II）${b_n}=\frac{1}{{{3^{n+1}}（1-{a_n}）（1-{a_{n+1}}）}}$，b₁=$\frac{3}{8}$．n≥2时，b_n=$\frac{1}{{3}^{n+1}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）（1-\frac{1}{{3}^{n+1}}）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$．利用裂项求和方法与数列的单调性即可得出．

解答 （I）解：数列{a_n}满足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=\frac{n+1}{3}$，（n∈N₊）．
∴n≥2时，a₁+3a₂+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n}{3}$，相减可得：3^n-1a_n=$\frac{1}{3}$，∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$．
n=1时，a₁=$\frac{2}{3}$．
综上可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}，n=1}\\{\frac{1}{{3}^{n}}，n≥2}\end{array}\right.$．
（II）证明：${b_n}=\frac{1}{{{3^{n+1}}（1-{a_n}）（1-{a_{n+1}}）}}$，
∴b₁=$\frac{1}{{3}^{2}×（1-\frac{2}{3}）×（1-\frac{1}{{3}^{2}}）}$=$\frac{3}{8}$．
n≥2时，b_n=$\frac{1}{{3}^{n+1}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）（1-\frac{1}{{3}^{n+1}}）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$．
∴S_n=$\frac{3}{8}$+$\frac{1}{2}[（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{3}-1}-\frac{1}{{3}^{4}-1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）]$
=$\frac{3}{8}$+$\frac{1}{2}（\frac{1}{8}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$＜$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．