Question

15．已知抛物线C：y²=2px的焦点为F，A为C上位于第一象限的一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且△ADF为等腰直角三角形，若|FA|=|AD|，点A的横坐标为3+2$\sqrt{2}$，则抛物线C的方程为y²=4x或y²=（68+48$\sqrt{2}$）x．

Answer 1

分析 根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，作出图形分析可得|AG|=|FG|，用p表示|AG|、|FG|，可得|3+2$\sqrt{2}$-$\frac{p}{2}$|=$\sqrt{2p（3+2\sqrt{2}）}$，解可得p的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，如图，过点A作AG⊥x轴，
抛物线C：y²=2px，其焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），
又由△ADF为等腰直角三角形，且|FA|=|AD|，
则有|AG|=|FG|，
又由点A的横坐标为3+2$\sqrt{2}$，设其纵坐标为y_b，
则|FG|=|3+2$\sqrt{2}$-$\frac{p}{2}$|，
点A的横坐标为3+2$\sqrt{2}$，y_b²=2p（3+2$\sqrt{2}$），
则有|3+2$\sqrt{2}$-$\frac{p}{2}$|=$\sqrt{2p（3+2\sqrt{2}）}$，
解可得p=2或34+24$\sqrt{2}$，
故抛物线的方程为y²=4x，
故答案为：y²=4x或y²=（68+48$\sqrt{2}$）x．

点评 本题考查抛物线的几何性质，关键是利用等腰直角三角形的性质分析．