Question

13．已知f（x）=$\frac{sinx}{x}$在（0，$\frac{π}{2}$）上是减函数，若0＜x＜1，a=（$\frac{sinx}{x}$）²，b=$\frac{sinx}{x}$，c=$\frac{sin{x}^{2}}{{x}^{2}}$，则a，b，c的大小关系为a＜b＜c．

Answer 1

分析 根据极限的知识可知$\underset{lim}{x→0}\frac{sinx}{x}=1$，从而根据条件判断出0＜x＜1时，0＜f（x）＜1，从而得出f²（x）＜f（x），而可判断x²＜x，这样根据f（x）的单调性即可比较b，c大小，最后即可得出a，b，c的大小关系．

解答 解：x趋向0时，$\frac{sinx}{x}$趋向1；
又f（x）在（0，1）上是减函数；
∴0＜x＜1时，sin1＜f（x）＜1；
∴f²（x）＜f（x）；
即a＜b；
0＜x＜1，∴x²＜x；
∴f（x²）＞f（x）；
即c＞b；
∴a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c．

点评 考查对$\underset{lim}{x→0}\frac{sinx}{x}=1$极限的掌握，减函数的定义，以及根据减函数定义比较大小的方法，0＜x＜1时，可比较x²和x的大小关系．