Question

1．已知A，B是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1左、右顶点，过椭圆中心0作弦MN交椭圆于M，N两点，且$\overrightarrow{AN}$$•\overrightarrow{MN}$=0，|$\overrightarrow{MN}$|=2|$\overrightarrow{AN}$|．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）如图所示，过顶点B作平行于y轴的直线BC，连接OC，过点A作弦AD∥OC交椭圆于D点，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于P点，求证：|$\overrightarrow{DE}$|=2|$\overrightarrow{DP}$|．

Answer 1

分析 （1）由题意知AN⊥NO，且|AN|=|ON|，从而可得点N（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），从而可得a²=3b²，从而求椭圆的离心率；
（2）由题意作图象，设直线AD与直线BC相交于点M，从而利用平行及相似证明即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AN}$$•\overrightarrow{MN}$=0，
∴AN⊥NO，
又∵|$\overrightarrow{MN}$|=2|$\overrightarrow{AN}$|，
∴|AN|=|ON|，又∵|OA|=a，
∴点N（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），
故$\frac{（-\frac{a}{2}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（-\frac{a}{2}）^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得，a²=3b²，
故e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）证明：由题意作图象如右图，
设直线AD与直线BC相交于点M，
∵O是AB的中点，
又∵AD∥OC，
∴OC是△ABM的中位线，
∴BC=BM，
∵DE∥BM，
∴$\frac{DP}{MC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PE}{BC}$，
∴DP=PE，
∴|$\overrightarrow{DE}$|=2|$\overrightarrow{DP}$|．

点评 本题考查了数形结合的思想应用，同时考查了圆锥曲线的定义及性质的应用，同时考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用．