Question

16．已知函数f（x）=（3^x-y）²+（3^-x+y）²，x∈[-1，1]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）关于x的方程f（x）=2y²有解，求实数y的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简f（x）=（3^x-3^-x-y）²+2+y²，而3^x-3^-x∈[-$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$]，从而讨论以确定函数的最大值；
（2）化简可得y=$\frac{{3}^{x}-{3}^{-x}}{2}$+$\frac{1}{{3}^{x}-{3}^{-x}}$，从而讨论，利用基本不等式求取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（3^x-y）²+（3^-x+y）²
=（3^x）²-2y3^x+y²+（3^-x）²+2y3^-x+y²
=（3^x-3^-x）²-2y（3^x-3^-x）+2+2y²
=（3^x-3^-x-y）²+2+y²，
∵x∈[-1，1]，
∴3^x-3^-x∈[-$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$]，
①当y≤0时，
f_max（x）=f（1）=2y²-$\frac{16}{3}$y+$\frac{82}{9}$，
②当y＞0时，
f_max（x）=f（-1）=2y²+$\frac{16}{3}$y+$\frac{82}{9}$；
（Ⅱ）∵关于x的方程f（x）=2y²有解，
∴（3^x-3^-x）²-2y（3^x-3^-x）+2=0有解，
∴y=$\frac{{3}^{x}-{3}^{-x}}{2}$+$\frac{1}{{3}^{x}-{3}^{-x}}$，
当0＜x≤1时，
$\frac{{3}^{x}-{3}^{-x}}{2}$+$\frac{1}{{3}^{x}-{3}^{-x}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
（当且仅当3^x-3^-x=$\sqrt{2}$时，等号成立）；
同理，当-1≤x＜0时，
$\frac{{3}^{x}-{3}^{-x}}{2}$+$\frac{1}{{3}^{x}-{3}^{-x}}$≤-2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{2}$，
（当且仅当3^x-3^-x=-$\sqrt{2}$时，等号成立）；
故实数y的取值范围为：（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的化简与应用，同时考查了基本不等式的化简与应用及分类讨论的思想应用．