Question

5．已知定点A（-4，0）及椭圆C：x²+3y²=6，直线MN经过椭圆C的右焦点，当M、N在椭圆C上运动时，△MNA的面积的最大值为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设直线MN方程为：x=my+2，由 $\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$得（m²+3）y²+4my-2=0，可得△MNA的面积s=$\frac{1}{2}×AF×$|y₁-y₂|=3$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{6\sqrt{6}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+3}=\frac{6\sqrt{6}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+1+2}$=$\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$$≤\frac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=3\sqrt{3}$

解答 解：∵椭圆C：x²+3y²=6的右焦点为（2，0），故设直线MN方程为：x=my+2，
由 $\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$得（m²+3）y²+4my-2=0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-4m}{{m}^{2}+3}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-2}{{m}^{2}+3}$，
，△MNA的面积s=$\frac{1}{2}×AF×$|y₁-y₂|=3$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{6\sqrt{6}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+3}=\frac{6\sqrt{6}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+1+2}$=$\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$$≤\frac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=3\sqrt{3}$，
当m=±1时，△MNA的面积的有最大值为3$\sqrt{3}$，
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系，三角形面积计算，属于中档题．