题目内容
正四面体的内切球与外接球的半径之比为（ ）
| A、1：3 | B、1：9 |
| C、1：27 | D、1：81 |
考点：球内接多面体
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值即可．
解答：
解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，
且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V1=
•S•r 而正四面体PABC体积V2=
•S•（R+r）
根据前面的分析，4•V1=V2，
所以，4•
•S•r=
•S•（R+r），
所以，R=3r
故选：A．
解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O． 设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，
且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V1=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
根据前面的分析，4•V1=V2，
所以，4•
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以，R=3r
故选：A．
点评：本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的关系，找出两个球的球心重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
练习册系列答案
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