题目内容
已知向量
=（sinx，
-
cos2x），
=（2cosx，1），定义f（x）=
•
．
（1）求函数y=f（x），x∈R的单调递减区间；
（2）若函数y=f（x+θ）（0＜θ＜
）为偶函数，求θ的值．
| a |
| 3 |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（1）求函数y=f（x），x∈R的单调递减区间；
（2）若函数y=f（x+θ）（0＜θ＜
| π |
| 2 |
考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用向量的数量积先求出f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性，求出函数的单调区间，
（2）先求出f（x+θ）的解析式，再根据偶函数的性质求出x的值，再根据函数的极值求得θ的值．
（2）先求出f（x+θ）的解析式，再根据偶函数的性质求出x的值，再根据函数的极值求得θ的值．
解答：
解：（1）f（x）=
•
=（sinx，
-
cos2x）•（2cosx，1）
=2sinxcosx+
-
cos2x=sin2x-
cos2x+
，
=2sin（2x-
）+
，
由2kπ+
＜2x-
＜2kπ+
（k∈Z），
得kπ+
＜x＜kπ+
，
所以所求单调递减区间为（kπ+
，kπ+
），（k∈Z），
（2）∵y=f（x+θ）=2sin（2x+2θ-
）+
为偶函数，
∴2θ-
=kπ+
（k∈Z），
即θ=
+
，
又0＜θ＜
，
所以θ=
．
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
=2sinxcosx+
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
=2sin（2x-
| π |
| 3 |
| 3 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
得kπ+
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
所以所求单调递减区间为（kπ+
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
（2）∵y=f（x+θ）=2sin（2x+2θ-
| π |
| 3 |
| 3 |
∴2θ-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
即θ=
| kπ |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
又0＜θ＜
| π |
| 2 |
所以θ=
| 5π |
| 12 |
点评：本题主要考查了向量的数量积的运算和三角函数的性质，属于基础题．
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