Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，有一个顶点为A（-4，0），椭圆两准线间的距离为16．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点B（-1，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的一个顶点可求a，结合两准线间的距离为16求得c，则b可求，椭圆方程可求；
（Ⅱ）分直线l的斜率存在（不等于0）和不存在讨论，当直线的斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，
把MA的斜率用直线l的斜率表示，由基本不等式求得范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆有一个顶点为A（-4，0），故长半轴长a=4，
又椭圆两准线间的距离为

2a2

c

=16，
从而得：a=4，c=2，b²=12，
∴椭圆E的方程

x2

16

+

y2

12

=1；
（Ⅱ）依题意，直线l过点B（-1，0）且斜率不为零．
（1）当直线l与x轴垂直时，M点的坐标为B（-1，0），此时，k=0；
（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l方程为y=m（x+1），（m≠0），
联立方程组

y=m(x+1) x2 16 + y2 12 =1

，消去y并整理得（4m²+3）x²+8m²x+4m²-48=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），M（x₀，y₀），又有A（-4，0），则
∴x1+x2=-

8m2

4m2+3

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

4m2

4m2+3

，y0=m(x0+1)=

3m

4m2+3

，
∴k=kAM=

y0

x0+4

=

m

4(m2+1)

=

1

4(m+ 1 m )

(m≠0)，
∵|m+

1

m

|=|m|+|

1

m

≥2，∴0＜|k|≤

1

8

．
∴-

1

8

≤k≤

1

8

且k≠0．
综合（1）、（2）可知直线MA的斜率k的取值范围是：-

1

8

≤k≤

1

8

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线间的关系，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．