Question

4+16a

1+2a2

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,基本不等式

专题：导数的概念及应用

分析：设f（a）=4×

1+4a

1+2a2

，利用导数求函数的最值的方法．

解答： 解：

4+16a

1+2a2

=4×

1+4a

1+2a2

，
设f（a）=4×

1+4a

1+2a2

，
∴f′（a）=4×

4(1+2a2)-4a(1+4a)

(1+2a2)2

=4×

-4(2a2+a-1)

(1+2a2)2

，
令f′（a）=0，解得a=

1

2

，或a=-1，
当f′（a）＞0时，a∈（-1，

1

2

）为单调增函数，
当f′（a）＜0时，在（-∞，-1）∪（

1

2

，+∞）为单调减函数，
故当a=

1

2

时取得极大值，
结合图象可知当a=

1

2

时取得大值，
∴f（

1

2

）=8，
故

4+16a

1+2a2

的最大值为8．
故答案为：8

点评：本题考查了导数与最值的问题，属于中档题．