Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．设b_n=S_n-3ⁿ，数列{b_n}的通项公式是

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：依题意得S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此可知S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），结合已知可知数列{b_n}在a≠3时为等比数列，求出通项公式后验证a=3时成立，则答案可求．

解答： 解：由a_n+1=S_n+3ⁿ，
得Sn+1-Sn=Sn+3n，
∴Sn+1=2Sn+3n．
则Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)．
∵b_n=S_n-3ⁿ，
∴bn+1=Sn+1-3n+1．
故b_n+1=2b_n．
当a≠3时，b₁=a-3≠0．
数列{b_n}是以2为公比的等比数列，
∴bn=(a-3)•2n-1．
验证a=3时上式成立．
∴bn=(a-3)•2n-1．
故答案为：bn=(a-3)•2n-1．

点评：本题考查了数列递推式，解答的关键是构造出等比数列，是中档题．