Question

17．[示范高中]定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x），当′x∈（-∞，0）时，都有$\frac{1}{x}$f（x）+f′（x）＞0，若a=3f（3），b=（lnπ）f（lnπ），c=-2f（-2），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＞b＞c
• B． a＞c＞b
• C． b＞a＞c
• D． c＞b＞a

Answer 1

分析 构造函数g（x），求出g（x）的奇偶性和单调性，从而求出a，b，c的大小即可．

解答 解：令g（x）=xf（x），
g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵x∈（-∞，0）时，都有$\frac{1}{x}$f（x）+f′（x）＞0，
∴x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0，
∴′x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，
g（x）在（-∞，0）递减，
而g（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-g（x），
∴g（x）在R上是奇函数，
∴g（x）在R递减，
∵3＞lnπ＞-2，
∴g（3）＜g（lnπ）＜g（-2），
∴a＜b＜c，
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．