Question

5．在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x²-3x-2=0的一个根，求：
（Ⅰ）cosC的值；
（Ⅱ）△ABC周长的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cosC是方程2x²-3x-2=0的一个根可求cosC=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab•（-$\frac{1}{2}$）=（a+b）2-ab，由a=5时，及c最小且可求，进而可求△ABC周长的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵2x²-3x-2=0，
∴x₁=2，x₂=-$\frac{1}{2}$，…（2分）
又∵cosC是方程2x²-3x-2=0的一个根，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$．…（7分）
（Ⅱ）由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab•（-$\frac{1}{2}$）=（a+b）2-ab，
即：c²=100-a（10-a）=（a-5）²+75，…（10分）
当a=5时，c最小且c=$\sqrt{75}$=5$\sqrt{3}$，此时a+b+c=10+5$\sqrt{3}$，…（12分）
∴△ABC周长的最小值为10+5$\sqrt{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查了三角形中由三角函数值求解角，余弦定理的应用，属于公式的简单运用，属于基础题．